El Dr. Ramírez de Alba, escribe “Números”, ya que como el mismo lo expresa: “El ingeniero no sólo trabaja con números vive con ellos, no se conforma con la parte artística y cualitativa del mundo, la imagen que el tiene requiere de la cuantificación: cuanto resiste, cuanto produce, cuanto cuesta, cuanta presión se requiere para extraer petróleo, cuantos litros por segundo de agua se requieren para una población y así por al estilo. Pero a juzgar por los comentarios de los colegas profesores de la Facultad de Ingeniería esta pasión por los números que caracteriza al ingeniero no ha arraigado en los estudiantes actuales, que sienten tanta aversión por lo números como el común de las personas.”

En este escrito se presentan algunas ideas generales acerca de los números, como son su historia, su significado y algunas de sus propiedades.

Por Horacio Ramírez de Alba
Cronista de la Facultad de Ingeniería

Introducción

Se reúnen a la mesa durante una de tantas fiestas varias parejas. Para romper el hielo y viendo que es una noche lluviosa, una de las damas dice algo así - Solamente del coche para acá nos dimos una buena mojada, pero esto no es nada, en el lugar de donde venimos llueve más, ¡Aquello si que es llover!.

Alguien mas de la mesa pregunta ¿Cuántos milímetros al año llueven en su ciudad?

Es este el tipo de preguntas que tienden a cortar las conversaciones informales, pues por lo general la gente siente cierta aversión natural a los números y, también por lo general, las personas que hacen este tipo de preguntas resultan ser ingenieros. De esta forma si el tema de la conversación es algún otro, por ejemplo el clima, querrá saber a cuantos grados centígrados se refiere alguien al hablar de que – hizo mucho frío hoy por la mañana- y si se habla de deportes pedirá a su interlocutor, que esta hablando de su equipero favorito, cuantos goles por temporada en promedio ha marcado y el porcentaje en comparación al máximo anotador, Pelé, que el 23 de marzo de 1970 marco su gol mil.

El ingeniero no sólo trabaja con números vive con ellos, no se conforma con la parte artística y cualitativa del mundo, la imagen que el tiene requiere de la cuantificación: cuanto resiste, cuanto produce, cuanto cuesta, cuanta presión se requiere para extraer petróleo, cuantos litros por segundo de agua se requieren para una población y así por al estilo. Pero a juzgar por los comentarios de los colegas profesores de la Facultad de Ingeniería esta pasión por los números que caracteriza al ingeniero no ha arraigado en los estudiantes actuales, que sienten tanta aversión por lo números como el común de las personas. En este escrito se presentan algunas ideas generales acerca de los números, como son su historia, su significado y algunas de sus propiedades. Con esta base se analiza como se ha enseñado el cálculo numérico en las carreras de ingeniería de la UAEM y al finalizar presentar algunos datos y opiniones sobre si es real ese decaimiento en el interés por los números en las nuevas generaciones.

Algo de historia

Los libros del Pentateuco son: Génesis, Éxodo, Levítico, Números y Deuteronomio, por lo tanto el cuarto de ellos lleva el sugestivo titulo de Números, esto se debe a la influencia griega Arithmoi que eso significa y que sin duda responde a los abundantes números y censos que se consignan. Con todo, el título original Bemidbar, en hebreo –en el desierto- es más apropiado para este libro puesto que relata los cuarenta años que ese pueblo pasó en el desierto. Pero en efecto el libro inicia con números

-El día primero de segundo mes el año segundo de la salida de Egipto, habló el Señor a Moisés en el desierto del Sinaí, en la tienda del encuentro, diciendo:

Haz un censo general de toda la comunidad de los Israelitas por clases y familias, registrando uno por uno los nombres de todos los varones. Tu y Aarón registrarán por batallones a todos los varones mayores de veinte años aptos para la guerra en Israel (Números 1-1)

Es decir, el pueblo de Dios se preparaba para la conquista de la Tierra Prometida, iniciando o dando continuidad al conflicto que persiste en la zona. Más adelante (Números 26-51) se consigna, después de una de las batallas: - El número total de registrados entre los israelitas fue de seiscientos un mil setecientos treinta- esta cantidad de gente parece excesiva tomando en cuenta que vagaron por el desierto durante cuarenta años, pero no existen otras referencias además de la Biblia para poder comprobar. Anteriormente, el libro del Éxodo registra que el pueblo de Israel al salir de Egipto estaba compuesto de seiscientos mil adultos de a pie además de los niños, lo cual significa fácilmente un millón de personas o más. Esta cantidad difiere mucho de la anterior, se puede especular que muchos murieron en los primeros años del éxodo o bien que sus técnicas de conteo no eran muy exactas. A este respecto puede ser interesante recordar que por lo menos quince siglos antes de nuestra era fue derrotada la dinastía de los hicsos que habían reinado en Egipto y consentido a sus primos hebreos. Al regresar los nativos al poder e iniciar el llamado Imperio Nuevo , la cosa cambio radicalmente para los hebreos que fueron duramente esclavizados. Y fue cuando su Dios se acordó de la promesa que había hecho a Abrahán, Isaac y Jacob y resolvió sacar a su pueblo de Egipto.

Volviendo al libro de Números, contiene varios registros de datos además de los censales, por ejemplo ( 15-8):

-Si el holocausto o sacrificio en cumplimiento de una promesa o como sacrificio de comunión al Señor es un novillo, ofrecerás con el novillo trece kilos y medio de la mejor harina, amasada con cuatro litros de aceite y cuatro litros de vino para la libación; es sacrificio que se quema, aroma agradable al Señor.-

Destaca aquí lo preciso de las cantidades de harina, aceite y vino que se exigen y que reflejan el sentido comercial y ahorrativo de los pueblos de esa parte del mundo. En cambio en libros anteriores al tratar con números se hace de forma imprecisa, por ejemplo en Génesis 22- 16 y 17 después del pretendido sacrificio de Isaac:

-Juro por mi mismo, palabra del Señor, que por haber hecho esto y no haberme negado a tu único hijo, te colmaré de bendiciones y multiplicaré inmensamente tu descendencia como las estrellas del cielo y como la arena de las playas. Tus descendiente conquistarán las ciudades de sus enemigos. Todas las naciones de la tierra obtendrán la bendición a través de tu descendencia por que me haz obedecido.-

Obviamente en esta parte se trata de establecer una cantidad muy grande, para significar que la descendencia de Abrahán a través de Isaac será incontable. Pero a la luz de los conocimientos actuales se pueden ya hacer cuantificaciones. Los científicos estiman que existen 10 11 galaxias y en promedio cada una contiene 1011 estrellas, por lo tanto el número de estrellas es aproximadamente 1022 (O sea el número uno seguido de 22 ceros, o si se quiere diez mil millones de millones de millones) Por otra parte el número de granos de arena de todas las playas del mundo se estima de 10 20 ( uno seguido de veinte ceros, cien millones de millones de millones) esto quiere decir que hay 100 veces más estrellas en el universo que granos de arena en las playas del mundo. Y en cuanto a la cantidad de habitantes se tiene que en números redondos ya hay en la actualidad seis mil millones de personas en el mundo o sea el número seis seguido de nueve ceros , una cantidad enorme y realmente difícil de imaginar y creer, pero de todas formas muy inferior a la cantidad de estrellas y granos de arena. Las cantidades antes anotadas permiten establecer que existen 1.7 millones de millones de veces más estrellas que humanos y 16 millones de veces más granos de arena que humanos. Se puede ver pues que difícilmente podrá cumplirse cabalmente la promesa hecha a Abrahán, por que en primer lugar solamente una parte relativamente pequeña de la humanidad se pueden considerar sus descendientes, los hebreos por parte de Isaac hijo de Abrahán y Sara en su vejez y de los árabes, del hijo que la esclava egipcia Agar tuvo con el patriarca, y en segundo lugar porque nunca se podrán alcanzar cantidades ni siquiera cercanas a las registradas en la Biblia. Alguien podrá decir, tiempo al tiempo, pero se debe pensar que 1022 personas no cabrían en esta mundo ni aun estando una junto a la otra, sería tanto como poblar un millón de millón de mundos como el nuestro en sus condiciones actuales.

En la Biblia abundan las cifras y expresiones numéricas de todo tipo, pero sería un error entender los números es su estricto valor aritmético, más bien es un valor simbólico, por así decirlo es casi un genero literario. Los Caballeros de la Orden del Temple a raíz de las cruzadas, recogieron las enseñanzas religiosas y esotéricas de oriente, especialmente lo relacionada con los números y sus significados – la kabala o cábala – y las relacionaron con las antiguas tradiciones celtas de los Maestros Constructores, conocimientos que aplicaron en numerosas construcciones como templos y fortalezas en toda Europa principalmente en el Camino de Santiago. Varios autores sostienen que el juego de la Oca estaba muy relacionado con el aprendizaje de los prospectos a formar parte del gremio de los compañeros constructores, de esta manera la oca “mano palmípeda” resultó un símbolo de la capacidad operativa del espíritu sobre la materia. Se estableció que el ser humano aprende más y en menos tiempo cuando emplea su instinto lúdico, aunque la tarea exija de él un esfuerzo mayor que si emplease los canales “normales” de una actividad “seria”. El maestro iniciador, llamado en algunas zonas ganso u oca, estaba dispuesto a guiar a sus discípulos con las formas contenidas en las medidas armónicas de los dados, verdaderas piedras angulares del juego como en toda construcción.
Algunas características numéricas del Juego de la Oca:
Es una espiral con 63 casillas explícitas y una, El Jardín de la Oca, implícita que es el invisible 64. El 63 se interpreta como 6 + 3 = 9 y el 64 como 6 +0 = 10, o bien 1 + 0 = 1. Son 9 los obstáculos que se deben superar. Las ocas son trece en las casillas que representan las trece etapas del Camino de Santiago. Su orden se puede interpretar con dos espirales entrelazadas o grupos. El primero, grupo A, comprende 7 ocas en los casilleros 5, 14, 23, 32, 41,50 y 59 o sea están separadas cada una 9 espacios, el segundo, grupo B, contiene también siete ocas si se considera la del lugar invisible, en los casilleros 9, 18, 27, 36, 45, 45, y (64) también con separación de 9 espacios. Nótese que el número cabalístico de todas las posiciones del grupo A es 5 y del grupo B es 9. excepto la última que resulta 1, que es la meta “ lo único, lo más valioso”
Separación de cada oca por 5 es igual a 45; 4 + 5 = 9
Separación de cada oca por 9 es igual a 81; 8 + 1 = 9
Haciendo aritmética se tienen los siguientes resultados:

Grupo A 5 + 14 + 23 + 32 + 42 + 50 + 59 = 224; 2 + 2 + 4 = 8
Grupo B 9 + 18 + 27 + 36 + 45 + 54 + 64 = 253; 2 + 5 + 3 = 1
-------------------------------------------------------------------------------------------
           14     32    50    68    86   104  123    477; 4 + 7 + 7 = 18; 1 + 8 = 9
             5      5      5      5      5      5      6
Lo anterior representa solamente una parte de las características numéricas y simbólicas de este juego que se han estudiado por los expertos, para mayor información se puede consultar la referencia Alarcón, 1987.
No se puede impedir pensar que si los maestros constructores de la edad media aprendieron las bases de su oficio en el juego de la Oca, puede ser que ahora sea posible que los futuros ingenieros iniciaran su enseñanza en juegos diseñados con ese propósito. De hecho, los jóvenes adquieren actualmente habilidades cibernéticas en los juegos electrónicos que posteriormente les sirven para manejar las computadoras y sofisticados programas. Las instituciones podrían aprovechar esta inclinación de los jóvenes por lo juegos electrónicos diseñándolos convenientemente con fines didácticos.

Se debe reconocer que la habilidad para representar y comprender números muy grandes o muy pequeños solamente se pudo dar cuando se desarrollaron dos importantes conceptos , el valor posicional de los números (unidades, decenas, centenas, etc) y el concepto de cero o cantidad nula. La numeración romana no cumplía estos atributos por lo que el imperio romano debió tener serias limitaciones para el manejo de su administración y su tecnología, cosa que superaron de forma empírica, logrando por ejemplo obras públicas importantes cuyos restos son admirados hoy, pero en cuestiones científicas no pudieron avanzar. Los adelantos en aritmética llegaron a occidente por el oriente , Persia y China, en particular. Es usual ejemplificar con la leyenda del inventor del juego de ajedrez , que al ofrecerle el rey una recompensa por su invento pidió que se le diera un grano de trigo en el primer casillero, dos en el segundo, cuatro en el tercero, diez y seis en el cuarto y así sucesivamente hasta el casillero sesenta y cuatro. El rey no pudo ocultar su alegría pensando que era poco lo que se le pedía y no un palacio o parte del tesoro real como en un principio temía, pero cuando quiso pagar se percató de que ni con todos los granos de trigo de los almacenes reales podría cumplir su compromiso. El número exacto resulta 264 –1, o sea aproximadamente 18 millones de millones de millones (el número 18 seguido de 18 ceros). De hecho esta cantidad representa la producción de trigo actual en todo el mundo durante 150 años.

Se puede mencionar que los mayas independientemente desarrollaron la habilidad de concebir y utilizar números muy grandes con los que lograron establecer la ahora llamada cuenta larga que les permitió fijar la edad del universo en 10 29 años, cuando en Europa se pensaba en el orden de cuatro mil. También predijeron los eclipses y conocieron la trayectoria del planeta Venus reconociendo que gira alrededor del Sol como también la Tierra.

Curiosidades acerca de los números

El número 6 fue considerado por los griegos como el primer numero perfecto debido a que es la suma de todos sus divisores excepto el mismo número. Esto es 6 es divisible entre 1, 2, y 3 y la suma de ellos es 6. No fue sino hasta el desarrollo de las computadoras que se descubrieron otros números perfectos, en 1980 ya se conocían 24 de ellos el mayor con 12 003 dígitos.

Un número polindrómico es el que se puede leer de igual forma de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, sumando un número con su respectivo invertido (cambiando el orden) en sucesivos pasos se puede encontrar un número polindrómico. Algunos ejemplos sencillos son:

38                               139                               48017
83                               931                               71084
___                            ____                              _____
121                            1070                             119101

                                  1070                             119101
                                  0701                             101911
                                  ____                             ______
                                  1771                             221012

                                                                      221012
                                                                      210122
                                                                      ______
                                                                      431134

Existe una manera de escribir el número uno utilizando los diez dígitos a la vez

(148/296) + (35/70) =1.

Por supuesto hay diferencia entre las operaciones aritméticas, pero hay excepciones, por ejemplo:

2+2-2-2/2=1
2+2+2-2-2=2
2+2-2+2/2=3
2(2)(2)-2-2=4
2+2+2-2/2=5
2+2+2+2-2=6
22/2-2-2=7
2(2)(2)+2-2=8
2(2)(2)+2/2=9
2-2/2-2/2=0

La multiplicación de 123456789 por 8 y sumar 9 al resultado, se obtiene 987654321

Los números en la ingeniería

Pero todo lo anterior no es más que ejercicios de calentamiento para aquellos que gustan de los números. Ahora se tratará un poco acerca de los números en la ingeniería.

La ingeniería se caracteriza por resolver problemas técnicos pero siempre dentro de límites económicos. Su labor tiende a ser significativa para el desarrollo puesto que interviene de forma directa en las principales formas de satisfacer las necesidades de la población por ejemplo alimentación, agua y energía, y en forma indirecta en otros aspectos igualmente importantes como salud y educación. Resulta que las decisiones que se toman en la ingeniería se basan en números, ya sea cantidades absolutas o relativas. Los métodos y procedimientos pueden ser muy complejos basados en los resultados de la física y las teorías matemáticas, pero por lo general al final se tienen sólo los números, para primero planear los proyectos, luego diseñados y finalmente realizados. Los métodos a los que recurre el ingeniero no son muy diferentes a los correspondientes al científico, pero el resultado de su trabajo son desarrollos prácticos que deben ser funcionales, seguros y que no influyan negativamente en el medio ambiente. La seguridad es un aspecto primordial ya que las variables que intervienen son aleatorias, como la resistencia de los materiales y los efectos de los fenómenos naturales, por lo tanto debe dotar a sus creaciones de un margen de seguridad que tome en cuenta la probabilidad, pequeña pero siempre mayor que cero, de que por ejemplo la resistencia de los materiales adquieran su valor más bajo al tiempo de que los efectos de las cargas adquieran su valor más alto. El margen de seguridad debe ser suficiente pero no excesivo puesto que ello repercute en su costo y en su funcionamiento. El ejemplo más claro es el de los aeroplanos, un factor de seguridad muy amplio comprometería su función de volar.

Tomando en cuenta lo anterior parece que no se da suficiente énfasis en los números (aritmética) en la preparación de los ingenieros en cambio se le da mayor importancia a otras ramas de las matemáticas como el álgebra, el cálculo diferencial e integral y la geometría analítica. Se antoja que estos temas deberían tratarse más desde el punto de vista numérico y por lo tanto los textos para preparar ingenieros deberían ser de ingenieros y los profesores que lo enseñan deberían ser también ingenieros. El propósito de la enseñanza debería ser que el ingeniero en formación si contara con las bases teóricas pero sobre todo la habilidad de aplicar los resultados para resolver los problemas que interesan a la sociedad, es decir aprovechar de mejor manera sus conocimientos.

Por lo tanto, si bien el ingeniero debe contar con bases matemáticas sólidas, su trabajo práctico requiere, la mayor parte de las veces, de las operaciones básicas de la aritmética y la cuantificación numérica de funciones, para lo cual se asiste por computadoras, calculadoras y manuales. Los números le permiten tomar decisiones para planear, diseñar, construir, operar y mantener artefactos, construcciones, dispositivos y sistemas entre otros desarrollos que cumplan una función determinada.

En el proceso, generalmente no se cuenta con todos los datos de forma precisa por lo que debe saber que sus decisiones las debe tomar bajo cierto grado de incertidumbre, por lo que como ya se mencionó, debe adoptar un margen de seguridad acorde al problema que trata de resolver. Esto implica que las cantidades que maneja solamente son estimaciones más o menos precisas de la realidad, por lo tanto es inútil manejar más de dos o tres cifras significativas, por ejemplo si se esta diseñando una pieza de acero de sección circular y se obtiene como resultado exacto un diámetro de 12.3525433544 mm, no será necesario reportar todas las cifras después del punto decimal. En este caso lo más práctico será redondear a un diámetro que corresponda a un producto normalizado que pueda adquirirse si dificultad, por ejemplo 12.7 mm (medida pulgada o 13 mm). Hace relativamente poco tiempo, no más de cuatro o cinco décadas, los ingenieros realizaban sus cálculos convencionales con la regla de cálculo que permitían solamente distinguir tres cifras significativas, esto no fue impedimento para que se desarrollaran grandes obras de ingeniería civil o complicadas máquinas. El estudiante de ingeniería cree que reportando números con ocho o diez cifras decimales su trabajo será mejor, también tiene dificultades en entender que un número solo es inútil si no va acompañado con su relación con una unidad a una proporción, ya que las cantidades que se manejan son físicas. Por ejemplo una longitud se deberá referir a milímetros (mm), metros (m), kilómetros (km) etc, una presión en kilogramos por centímetro cuadrado (kg/cm2) por ejemplo. En algunos casos no se maneja un determinado sistema de unidades; cuando se trata de relaciones entre dos números o factores que magnifican o disminuyen algo, por ejemplo un factor de seguridad puede ser 1.5, que significa aumentar el efecto de las cargas actuantes 50% con relación a la máxima esperada..

Salvo casos de excepción, tampoco se espera que en ingeniería se manejen números muy grandes como en astronomía o muy pequeños como en química y biología, lo más usual serán números no mayores que los billones y no más pequeños que las diezmilésimas. El estudiante, y hasta el profesional, deben dudar si sus resultados indican números fuera de rango y revisar sus procedimientos. Es decir no confiar ciegamente en lo resultados aunque este utilizando instrumentos precisos como las calculadoras y las computadoras, y en última instancia entender que los errores son privativos del hombre y no de las máquinas.

Ya no es como antes.

El mundo se está degenerando en estos tiempos. Hay signos de que la tierra va rápidamente hacia su fin. El soborno y la corrupción son frecuentes.

Los jóvenes son ahora déspotas... ya no se levantan cuando su mayores entran al salón de clases. Contradicen a sus padres, hablan hasta por los codos en lugar de atender sus clases, y tiranizan a sus profesores.

¿Qué está pasando con nuestros jóvenes? No respetan a sus mayores, desobedecen a sus padres. Ignoran los reglamentos. Pelean y escandalizan en cualquier lugar . Su moral y valores están decayendo. ¿Qué será de ellos?

Los tres anteriores párrafos se parecen a las quejas frecuentes que hacemos hoy día los mayores y en particular los profesores, pero no, el primero de los tres párrafos anteriores se encontró en una tableta de la cultura asiria escrita aproximadamente en el año 2800 antes de Cristo, el segundo y tercero son de dos grandes maestros de la antigüedad Sócrates y Platón respectivamente.

Para saber que acontece más directamente en el tema de la enseñanza de la aritmética y las matemáticas, se hace ahora un repaso de este tema en particular en la UAEM . Primero lo relacionado a la institución antecesora, el Instituto Científico y Literario del Estado de México, para ello se recurre a un estudio reciente intitulado “Enseñanza y práctica de la ingeniería en el estado de México 1870-1910” que realizó el maestro Edgar Castañeda Crisolis, como trabajo de tesis de Maestría en Historia (Castañeda 2004, Capítulo II) Por cierto que por la importancia de los datos que recoge, sería muy útil que se publicara en la UAEM este trabajo. El autor establece que desde 1828, cuando el Instituto inició sus actividades en Tlalpan, se impartieron cursos de matemáticas; sin embargo por el traslado de los poderes a Toluca en 1833 dejaron de impartirse. Poco tiempo después, al entrar al poder los conservadores y proclamar la república centralista fue clausurado y volvió a abrir sus puertas hasta 1846. En ese momento se decretó la creación de dos cursos de matemáticas. El contenido del primer curso: aritmética, álgebra elemental y geometría especulativa (descriptiva?); y el segundo: trigonometría esférica, geometría analítica, álgebra superior, cálculo infinitesimal, dibujo lineal y principios de arquitectura.

Se aprecia equilibrio entre los aspectos teóricos y prácticos, sin embargo por limitaciones de recursos, solamente se impartió el primer curso a cargo del ingeniero y general Felipe Berriozabal.

Fue hasta 1870, cuando se crean las carreras de ingeniería, que se logra más orden en la enseñanza de las matemáticas. En esta época destaca el alto nivel de contenidos de matemáticas que se llevaban en los cinco años de la carrera cubriendo desde la aritmética hasta la geometría analítica en tres dimensiones y el cálculo diferencial e integral.

Se registra que esto impactó en el bajo número de estudiantes de ingeniería con índices de reprobación de más de 50% al grado de que se generó una reforma para pasar muchos de los contenidos a la escuela preparatoria, pero de todas forma los problemas persistieron como se desprende de la siguiente nota que se señala en el referido trabajo:

“...por este motivo sin duda retrae a muchos a seguir la carrera de ingeniería, por evitar tropiezos consiguientes a la falta de hábito del cálculo, base indispensable de dicha carrera... y aún las que decidan seguir en las actuales circunstancias debe ser mucho menor el aprovechamiento riguroso alcanzado hasta su terminación” (Memoria que la Dirección del Instituto Científico y Literario presenta al ejecutivo conteniendo los trabajos del año escolar de 1897 p-19).

El profesor Julian Nava uno de los profesores de matemáticas más renombrados de aquella época, con 19 años de servicio, estableció que entre las causas que hacen que los alumnos de estudios preparatorios tengan una visión reducida de las matemáticas están: “la deficiencia de la instrucción primaria y el hábito constituido en la escuela de cultivar casi preferentemente la memoria y poco, muy poco la inteligencia, desarrollándose una facultad a expensas con detrimento de las otras”

La Escuela de Ingeniería funcionó de 1870 a 1902 , tuvo 24 egresados: dos en la rama de Topógrafo hidrógrafo, seis de Topógrafo hidromensor, dos de Ensayador, ocho de Topógrafo y seis de Civil. De los cuales se destaca el ingeniero Anselmo Camacho que fue catedrático del instituto y llegó a ser su director, además de haber destacado en diferentes cargos técnicos en el gobierno estatal. También destaca Hermilo Gorostieta que fue uno de los egresados del Instituto que mejor desarrolló su profesión con participación en el enturbamiento de ríos, cuestiones de límites, construcción de ferrocarriles, trazo de calles, construcción de hospitales, y trazo y construcción de caminos y carreteras.(Mayores datos de las actividades de los egresados en el trabajo del maestro Castañeda ya mencionado)

De este mismo trabajo el autor destaca en sus conclusiones en este párrafo:

- El encuentro con las matemáticas para algunos estudiantes fue desastroso, significó uno de los obstáculos más grandes y también uno de los retos académicos de los profesores. Las autoridades empecinadas en llevar a la práctica los principios positivistas no fueron capaces de salirse de ese esquema y así lo llevaron a la práctica. En ingeniería ese fue quizá el motivo para que muchos estudiantes desertaran de la carrera o se cambiaran a la Escuela Normal-

Cuando en 1956 se aprobó la ley de la UAEM como continuidad del Instituto, se reestableció la Escuela de Ingeniería, hoy orgullosa Facultad de Ingeniería, que ofreció en su principio la carrera de ingeniero civil con el plan de estudios de la Escuela Nacional de Ingenieros. En la enseñanza de las matemáticas destacaba el curso de Cálculo Práctico donde los principales temas eran la construcción y uso de escalas y monogramas, la graficación de ecuaciones y el manejo de la regla de cálculo. Los demás cursos en el área de matemáticas eran de carácter teórico formativo, cubriendo en general los temas que ya se tenían en la primera escuela de ingeniería como son el álgebra superior, la trigonometría, el cálculo diferencial y las ecuaciones diferenciales. En 1964 se agregó el curso de geometría diferencial. Poco después se hizo común el uso de las calculadoras electrónicas e inició el desarrollo de la computación, por ello el curso de Cálculo Práctico cambió a Métodos Numéricos, enfocado al aprendizaje del cálculo numérico de ecuaciones diferenciales y el uso de las herramientas de cálculo numérico asistidas por computadora.

En la actualidad los cursos del área de matemáticas que sustentan las cuatro licenciaturas que ofrece la Facultad de Ingeniería son: Álgebra Superior, Cálculo I, Geometría Analítica, Álgebra Lineal, Métodos Numéricos, Cálculo II, Ecuaciones Diferenciales, Probabilidad y Estadística, Cálculo Vectorial y Métodos Estocásticos. Un total de 83 créditos de los cuales solamente 23 corresponden a contenidos relacionados con el cálculo numérico y por lo tanto con la aplicación del conocimiento.

Se aprecia por lo tanto que el esquema general ha cambiado poco, al parecer persisten los problemas detectados ya en la anterior escuela de ingeniería y aún antes (sigue totalmente valida la observación del maestro Castañeda establecida en las conclusiones de su trabajo y que ya antes se transcribió) Desde mi punto de vista los principales problemas son:

- Los altos índices de reprobación que se deben a las deficiencias de conocimientos de los ingresantes, su carencia de hábitos de estudio convenientes y que no pueden superar un sentimiento de aversión a las matemáticas (que quizá se reafirme a su paso por la institución).

- Los contenidos que continuamente se incrementan al obedecer a los desarrollos continuos en todos los campos del conocimiento y en particular de las matemáticas.

- Los relativamente pocos temas relacionados con el cálculo numérico en favor de los teóricos, aspecto que tiende a confundir al estudiante pues después de sus cursos de matemáticas por lo general ya no aplica esos conocimientos o bien no los reconoce pues en los cursos superiores se hace énfasis en las aplicaciones.

- El criterio que prevalece, tanto en las instituciones de educación superior como de los organismos de evaluación curricular y acreditación, que establecen grupos de asignaturas: ciencias básicas, ciencias de la ingeniería e ingeniería aplicada que se imparten en ese orden, que parece lógico pero que se enfrenta a dificultades de orden práctico y hasta fisiológico. Se supone que el estudiante adquiere en sus primeros curso las herramientas que aplicará en los subsecuentes y en su vida profesional. Pero resulta que el cerebro humano no funciona como un recipiente en el que se puedan almacenar conocimientos.

- La dualidad del perfil de egreso que pretende formar ingenieros competentes para el trabajo práctico profesional pero también capaces de investigar, siendo que los conocimientos y habilidades son diferentes.

¿Que se puede hacer? Estos temas están sobre la mesa desde hace mucho tiempo y seguramente lo seguirán estando porque los índices de reprobación siguen siendo escandalosos y preocupantes, además los estudiantes cada vez se aplican menos. No creo tener las respuestas, a lo más puedo aventurar algunas opiniones:

- Que una parte importante de la formación de los ingenieros se realice directamente en los lugares de trabajo (industrias, obras de ingeniería civil, despachos de consultoría, instancias técnicas de los diferentes niveles de gobierno, etc.) de tal manera que el estudiante se enfrente a los problemas desde un principio y participe en su solución . Los conocimientos de matemáticas deberán por lo tanto ser dosificados de tal manera que el estudiante los aprenda cuando los necesita, de esta manera se espera que tenga mayor interés.

- Incrementar los aspectos prácticos de las matemáticas en forma de taller para que el estudiante aprenda a manejar la herramienta computacional para el cálculo numérico, sin descuidar las bases teóricas pero solamente en la medida de fundamentar las aplicaciones.

- De alguna manera separar el perfil de egreso para ingenieros que se dedicaran a la práctica de su profesión de los que se inclinan por la investigación. Lo estudiantes con habilidades para la investigación podrán ser identificados en los semestres intermedios de su carrera y ser objeto de programas diferenciados. Los cursos de matemáticas para los estudiantes del perfil práctico deberá ser impartidos por ingenieros con textos también escritos por ingenieros.

Pero lo más importante será revertir esa tendencia a la aversión por las matemáticas aspecto que al parecer ha estado presente en toda la historia pero que a últimas fechas se incrementa. Las evaluaciones que se han hecho de la educación básica indican que retrocedemos en cuestiones de conocimientos de matemáticas, gramática y lectura pues del lugar 34 que se tenía hace dos años, ya de por si preocupante, se ha pasado al 37, entre las naciones evaluadas. Es evidente que se requiere la revisión de los planes de estudio en todos los niveles educativos pero no de forma aislada como hasta ahora; desde fuera parece ser que la educación básica ha sacrificado la calidad por la cantidad, además el conocimiento se repite de un ciclo a otro pero con enfoques y nomenclaturas diferentes que confunden a los estudiantes. Se supone que deben existir maneras para enseñar la aritmética y en general las matemáticas de una manera amigable para que el estudiante, principalmente del nivel básico, no genere rechazo por la materia, la gran pregunta es ¿Cómo? Posiblemente seria adecuado recurrir a los juegos como hace mucho tiempo con el Juego de la Oca. Por otro lado, la duración de los estudios se ha incrementado notablemente; mientras que unos pocos años antes un joven normal terminaba los estudios profesionales a una edad de 21 a 23 años dependiendo de la modalidad y rama estudiada, en la actualidad resulta es de 25 a 28 años. Había que analizar si estos cambios han sido positivos en términos de la preparación de los egresados, su eficiencia y sus logros.

En fin, no cabe duda de que entre todos debemos hacer un gran esfuerzo, una gran campaña, para que los estudiantes de todos los niveles y de entre ellos los universitarios y particularmente los de ingeniería desarrollen aprecio por la cuantificación numérica y en general las matemáticas, de los contrario será realidad lo que ya muchos predicen, los desarrollos técnicos que requiere el país pronto estarán a cargo de ingenieros chinos.

Como colofón se presenta la siguiente frase del libro Billions and Billions de Carl Sagan:

Being afraid of quantification is tantamount of disenfranchising yourself, giving up on one of the most potent prospects for understanding and changing the world.

Que se puede traducir como:

Tener aversión por la cuantificación equivale a descalificarse, a darse por vencido en uno de los prospectos más potentes para entender y cambiar el mundo.

Referencias

Carl Sagan, Billions and Billions, Ballantine Book, 1997.
Isaac Asimov, Book of Facts, Fawcett Columbine Printing 1980.
Reyes Edgar Castañeda Crisolis, Enseñanza y práctica de la ingeniería en el Estado de México 1870-1910, Tesis de Maestro en Historia, Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Filosofía y Letras, 2004.
Rafael Alarcón H. A la sombra de los Templarios. Ediciones Roca, S.A. México, D.F. 1987.