El salón de clase: Una comunidad matemática

Luz Manuel Santos Trigo

 

CINVESTAV, México

 

Competencia Matemática

Hace algunos años el dominar las operaciones aritméticas y el aprender una serie de procedimientos algorítmicos era un indicador fundamental en el ser competente en matemáticas. Así, el que repetía las tablas de multiplicar y realizaba operaciones aritméticas largas tenía cierto prestigio de saber matemáticas. En la actualidad, el enfoque de sólo darle importancia  a la parte mecánica o algorítmica de esta disciplina  ha sido cuestionado y ahora se le da gran énfasis a que el estudiante  discuta el sentido y aplicación de las ideas matemáticas. Como Sternberg y Wagner lo indican “Las habilidades de cálculo que fueron importantes en matemáticas están decreciendo en importancia, tan rápidamente como la habilidad de usar el caballo para transportarse de un lugar a otro". Las matemáticas como otras disciplinas han estado cambiando constantemente en gran parte por el amplio desarrollo de los medios tecnológicos. Por ejemplo una calculadora le puede ser útil al estudiante no sólo para realizar grandes operaciones sino también para representar gráficamente ciertos fenómenos y explorara con mas detalle su comportamiento. Así, en este mundo cambiante el ser flexible y el desarrollar habilidades que permitan entender y valorar, los avances son aspectos fundamentales que el estudiante debe considerar no sólo en su aprendizaje escolar, sino también  para interactuar con el mundo que lo rodea.

En este contexto un elemento crucial asociado con la competencia matemática es que el estudiante desarrolle diversas estrategias que le permitan resolver problemas donde muestre cierto grado de independencia y creatividad. Por ejemplo Roemberg (1992) describe una situación donde alumnos de quinto año participaron en la resolución de problemas a partir de observar el vídeo de la carrera de 100 metros planos en las olimpiadas. El problema consistía en contar el número de pasos de cada participante estimar la longitud de cada uno.  estimar la longitud de cada uno, y estimar el tiempo que recorrió en cada paso el ganador de la carrera. Después compararon el promedio de la longitud de los pasos y el tiempo recorrido promedio para los tres primeros lugares. Así los estudiantes tuvieron oportunidad de relacionar sus recursos matemáticos a situaciones realistas y presentara varias estrategias en sus intentos de solución.

En este trabajo se presenta una concepción de las matemáticas donde se identifica al estudiante como un sujeto activo que necesita una comunidad para discutir sus ideas matemáticas y así comunicarlas de manera eficiente. Para ilustrar la importancia de motivar una discusión de los estudiantes, se presenta un ejemplo (situación problemática) sonde se señala el potencial matemático que os estudiantes pueden desarrollar si se le presentan condiciones donde se valore sus puntos de vista. Este aspecto es fundamental para que os estudiantes desarrollen una disponibilidad en el estudio de las matemáticas y la resolución de problemas.

 La necesidad de establecer una comunidad matemática en el salón de clases

Una idea muy popular, pero muy cuestionada recientemente, acerca de las matemáticas es una que tal disciplina se puede desarrollar en forma individual con un pedazo de papel y lápiz; las criticas parten de las evidencias de que el trabajo de los matemáticos es un trabajo de conjunto, que además tiene que ser validado o aceptado dentro de una comunidad. El ejemplo más reciente es el proceso que siguió la demostración del Teorema de Fermat.

La conjetura fue propuesta por Fermat en 1637 y establece que no existen números naturales que cumplan con la relación xⁿ + yⁿ = zⁿ con n mayor o igual que tres. El doctor Andrew Wiles  trabajó por más de ocho años en un intercambio constante de ideas con otros matemáticos alrededor del mundo para presentar la prueba en 1993. Después de dos años de haber presentado la prueba, la comunidad que la analizó detectó un detalle: Wiles no justificaba un resultado donde utilizaba una cota superior sobre la magnitud de una estructura particular conocida como el grupo de Selmer. Sin embargo a fines de Octubre de 1994, Wiles anunció que con la ayuda de uno de sus estudiantes (Richard Taylor) se había resuelto el problema. A finales de 1995, los expertos estuvieron de acuerdo que la prueba  revisada era correcta  y que Wiles había probado el último teorema de Fermat.

Como Tymoczo (1986) afirma, una demostración  no es una demostración hasta que ha sido aceptada por la comunidad de matemáticos.

Además, como Schoenfeld (1993) lo señala, los problemas centrales en matemáticas son demasiado grandes para que la gente los resuelva asiladamente. Una de las grandes implicaciones pedagógicas del trabajo cooperativo es que el salón de clase debe ser una comunidad en la que el estudiante discuta  y defienda sus ideas matemáticas.

Así, cuando los estudiantes encuentran un ambiente en el salón de clase que les permita pensar y razonar acerca de las matemáticas y comunicar sus resultados a otros en base a un argumento, se enfrentan a la necesidad de organizar y presentar sus ideas en forma convincente. Por ejemplo trabajando en parejas o en pequeños grupos, los estudiantes tienen oportunidad de validar sus razonamientos y sus conjeturas. Pueden discutir sus puntos de desacuerdo y argumentar el sentido de sus soluciones.

Los estudiantes aprenden matemáticas sólo cuando ellos mismos construyen sus propias ideas matemáticas. Además, las ideas matemáticas se aprenden por un proceso de comunicación. Los estudiantes necesitan oportunidades no solo para escuchar sino para comunicar sus ideas matemáticas. Es decir, necesitan discutir lo que observan, explicar porque ciertos procedimientos funcionan, y el por qué piensan que la solución a un problema es correcta. Chupado el aprendizaje es visto como una construcción y reorganización de conocimientos, entonces los maestros pueden identificar las diferentes formas en que cada estudiante aprende. Es importante que el profesor reconozca los diversos estilos de aprender entre sus estudiantes y así promueva actividades de a aprendizaje compatibles con tales formas de aprender o interactuar con el contenido matemático. Por ejemplo habrá estudiantes que necesitan mas dirección en aspectos de visualización o representación que otros, o estudiantes que se inclinen mas por tratamientos algebraicos que por un análisis de casos particulares.

La historia de las matemáticas nos muestra que la comunicación  y la interacción social juega un papel muy importante en el desarrollo de las ideas matemáticas. Sin embargo la idea  de que la matemática refleja valore culturales no es generalmente conocida por los estudiantes. Existe evidencia de que los estudiantes necesitan discutir las dimensiones sociales de las matemáticas  que les permitan darles contexto a las ideas matemáticas. Por ejemplo uno de los movimientos más importantes en el currículo es el de identificar las ideas fundamentales de las matemáticas  y discutirlas dentro de contextos familiares  para los estudiantes desde la enseñanza elemental (Santos, 1994)

Las matemáticas no son solamente actividades que el estudiante aprende dentro del salón de clase. Sino que los cursos de matemáticas deben ser comunidades donde la gente toma acuerdos se comporta de cierta forma y donde existe un gran dialogo para construir un argumento para sustentar alguna idea o se plantean contraejemplos para refutar algún resultado.

Muchos maestros comparten que los cursos de matemáticas tendrán mas éxito si se organizan de tal manera que los estudiantes  tengan un papel más activo y si las matemáticas que se estudian se sitúan en un contexto sensible para los estudiantes.

Polya en su video “Let us teach guessing” afirma que las ideas en matemáticas se originan a partir de alguna conjetura. Ilustrar además la necesidad de discutir y desarrollar un argumento que sostenga y posteriormente ayude a probar la validez de tal conjetura. Caracteriza el enseñar como el darle oportunidades al estudiante para que descubra relaciones matemáticas, e indica que muchas de las actividades en matemáticas partes de situaciones en donde en primera instancia hay que conjetura para posteriormente buscar un argumento donde se pruebe la conjetura o un contraejemplo que la refute.