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Dos tipos fundamentales de razonamiento
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  Dos tipos fundamentales de razonamiento 27/Septiembre/2008 - 04:30

DOS TIPOS FUNDAMENTALES DE RAZONAMIENTO.

  Demostrativo y  verosímil

          En cualquier trabajo intelectual, así como en las actividades comunes y corrientes de la vida cotidiana, nos valemos y hacemos uso constante de varios tipos de razonamientos. Tradicionalmente se han mencionado dos tipos fundamentales de ellos: el razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo. A grandes rasgos podemos decir que la inducción es el modo de razonamiento, que nos conduce al conocimiento de leyes generales a partir de la observación de ejemplos o casos particulares, a diferencia del razonamiento deductivo que va o parte de lo más general a lo específico y singular. En matemáticas, este último razonamiento, en general, nos conduce de un conjunto de premisas, tomadas como principios generales o axiomas, a una conclusión que se desprende lógicamente de ellas. Más concretamente, si las premisas son verdaderas y se emplean razonamientos correctos, entonces la conclusión no puede ser falsa.

 Otra denominación muy comúnmente empleada para designar a estos dos tipos de razonamiento es la siguiente: a los deductivos se les llama razonamientos demostrativos y  los inductivos quedan englobados en los razonamientos no demostrativos, también llamados verosímiles o plausibles (Tal vez donde con más precisión se traten estos razonamientos es en el libro “Matemáticas y razonamiento Plausible”, del matemático y pedagogo húngaro George Polya.). Los razonamientos verosímiles se basan fundamentalmente en: la inducción, la analogía, las observaciones, las hipótesis y los experimentos, en suma, en los métodos empleados por las ciencias naturales.

 Una de las características de los razonamientos verosímiles es que estos se basan en suposiciones (conjeturas), logradas por el método de inducción natural. Por ejemplo, los argumentos inductivos para obtener la ley de gravitación universal de Newton o los razonamientos empleados para construir la selección natural de Darwin, son ejemplos grandiosos de razonamientos plausibles, ellos están basados en suposiciones de un número limitado de experimentos, de conjeturas, pero en estos casos de conjeturas geniales.

 A diferencia del razonamiento demostrativo, que es fiable, indiscutible y definitivo, el razonamiento verosímil es convencional, discutible y provisional. El razonamiento demostrativo maneja modelos rígidos, codificados y plenamente aclarados por la lógica formal y en cambio, el razonamiento plausible tiene modelos fluidos y de hecho no existe una teoría formal o método por medio del cual se pueda estudiar dicho razonamiento, el único medio posible, hasta ahora, es la imitación y su aplicación práctica.

 No obstante lo convencional, discutible, provisional y azaroso de este método de razonamiento verosímil, todo conocimiento realmente nuevo se obtiene con este tipo de razonamientos, pues es indiscutible, y debemos tenerlo siempre presente, que al efectuar razonamientos estrictamente demostrativos, no nos enteramos en realidad de nada nuevo, lo nuevo ya se contenía en ese tipo de razonamiento, en la propia hipótesis y es ésta, la que en realidad hay que adivinar o intuir antes de demostrarla formalmente. Aclaremos esto con el siguiente ejemplo; cuando efectuamos impecablemente una demostración del teorema de Pitágoras, no estamos obteniendo nada nuevo, lo nuevo ya estaba contenido en la hipótesis, de que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. La demostración nos indica únicamente que la hipótesis es justa, su verdad ya la conocíamos antes de empezar la demostración. Es en realidad esta hipótesis la que hay que adivinar o intuir por razonamientos no demostrativos antes de hacer una demostración formal.

 DEMOSTRACIÓN GRÁFICA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

 

 Estos diagramas se pueden utilizar para demostrar el teorema de Pitágoras, que dice que si un triángulo rectángulo tiene catetos A y B e hipotenusa C, entonces A2 + B2 = C2. Las figuras 1 y 2 contienen ambas cuatro triángulos rectángulos con catetos A y B e hipotenusa C. Dado que ambas figuras tienen la misma área, si se eliminan los cuatro triángulos de la figura 1, el área restante debe ser igual a la que queda si se eliminan de la figura 2. En la figura 1, el área restante es A2 + B2, y en la figura 2, es C2. Por tanto, A2 + B2 = C2, lo que demuestra el teorema de Pitágoras. [1]

 Recalquemos: los razonamientos demostrativos no aportan conocimientos esencialmente nuevos, todo lo nuevo que llegamos a saber está relacionado con los razonamientos verosímiles o plausibles. En la matemática, más que en ninguna otra ciencia se emplea constantemente los procesos demostrativos y cualquier persona dedicada a las matemáticas debe conocer los métodos del razonamiento demostrativo. Para tal efecto se tienen ya elaboradas reglas de razonamientos correctos o ciertos métodos de demostración que nos permiten dar rigurosidad a esta ciencia.

 En cambio, a diferencia de lo anterior, no existe ninguna regla comparable para los razonamientos plausibles, ninguna de sus teorías puede compararse a la grandiosa y elaborada teoría de la lógica demostrativa; no obstante, estos razonamientos no demostrativos son necesarios a todo investigador, ya que sin ellos no habría ninguna ciencia.

        Las matemáticas mismas, gracias a sus particularidades, disponen de un amplio material para el estudio del razonamiento verosímil. La teoría matemática acabada y perfecta da una visión aparente de que esta ciencia es puramente demostrativa. La afirmación de que “la matemática es una ciencia demostrativa” solamente caracteriza uno de sus aspectos, pues el proceso de creación en la matemática, como en cualquier otra ciencia, involucra razonamientos plausibles. Como ya lo hemos mencionado, antes de demostrar un hecho matemático, es necesario descubrirlo, adivinarlo, advertirlo. En el proceso del razonamiento matemático intervienen tanto la intuición como la lógica formal, son dos etapas a recorrer para llegar a la verdad, ambos razonamientos se oponen entre sí, más no como adversarios, sino como compañeros, son complemento uno del otro.

        Richard Bellman, matemático norteamericano, hace algunos años escribió: “La lógica es, al fin y al cabo, un truco ideado por la mente humana para resolver cierto tipo de problemas. Pero la matemática es más que lógica, es lógica más el proceso creador. Que los artificios lógicos que constituyen la herramienta de la matemática se combinen para dar el resultado deseado no es necesariamente lógica, como no es un ejercicio lógico el escribir una sinfonía ni el pintar un cuadro.”[2]

        En el mismo sentido tenemos la opinión del destacado matemático francés Henri Poincaré, quien dijo: “ Una demostración matemática no es una simple yuxtaposición de silogismos, son silogismos colocados en un cierto orden y el orden en el cual están colocados estos elementos es mucho más importante que ellos mismos. Si tengo el sentimiento, la intuición de este orden, de manera que me pueda dar cuenta rápidamente del conjunto del razonamiento, no debo temer más olvidarme de uno de estos elementos, pues cada uno vendrá a colocarse en el cuadro que le he preparado”. La investigación matemática, sigue diciendo Poincaré, “No consiste en hacer nuevas combinaciones con otros entes matemáticos ya conocidos. Esto cualquiera podría hacerlo, pero las combinaciones que se podrían hacer así, serían infinitas y la mayor parte estarían desprovistas de interés. Inventar o descubrir consiste precisamente en no construir  combinaciones al azar, sino construir solamente las que puedan ser útiles. Las reglas que deben seguirse en esta construcción son extremadamente sutiles y delicadas. Es casi imposible establecerlas de manera precisa; son más bien sentidas que formuladas”[3]

        De manera que, como conclusión, podemos decir que no es correcta la opinión, generalmente aceptada, de que la matemática es una ciencia puramente deductiva, esto es, que sus conclusiones (teoremas) se obtienen a partir de ciertas proposiciones o enunciados básicos llamados axiomas, empleando para ello los razonamientos que nos dicta y reglamenta la lógica deductiva. Como hemos hecho notar anteriormente, para llegar a adquirir conocimientos realmente nuevos, es necesario emplear el llamado razonamiento verosímil. Así vemos que en las matemáticas, los teoremas son primero intuidos, captados por el genio matemático, y es después de este proceso de captación o de intuición cuando viene la formalización, la demostración rigurosa de dichos teoremas.

 La lógica deductiva y la intuición tienen cada una un papel necesario. Ambas son indispensables. La lógica, que puede por sí misma dar la certeza, es el instrumento de la demostración; la intuición es el instrumento de la invención.

 Una persona seriamente interesada en matemáticas, que pretenda dedicar a ellas su vida, debe aprender el razonamiento demostrativo; él es su profesión y el signo distintivo de su ciencia. Sin embargo, para obtener un éxito real debe también aprender el razonamiento plausible; de él dependerá su labor creadora. Desgraciadamente no existe un método a toda prueba para aprender a intuir, lo que se puede ofrecer son sólo ejemplos que imitar, el uso eficiente del razonamiento plausible es una habilidad práctica, aprendida mediante la imitación y su empleo constante en la resolución de problemas.

   

 

Leonardo Sáenz Baez.

 

 



[1]"Demostración matemática: figuras 1 y 2." Enciclopedia® Microsoft® Encarta 2001. © 1993-2000 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

 

 

 

 

[2] En el prefacio del libro “Introducción al Análisis Matricial” de Richard Bellman. Editorial Reverté, S.A.

[3]  Poincare, Henri. Ciencia y método. Editorial Espasa Calpe, S.A. Madrid. 1963.

Editado por: Matematica Educativa (21/Noviembre/2008 - 05:29)
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